Kombinatorik

Die Kombinatorik beantwortet eine scheinbar simple, aber überraschend tiefe Frage: Auf wie viele Arten lässt sich etwas anordnen oder auswählen? Sie ist die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung, denn um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, muss man zuerst die Anzahl aller möglichen Ergebnisse kennen.

Zwei Fragen entscheiden über die richtige Formel: Kommt es auf die Reihenfolge an? Und dürfen sich Elemente wiederholen? Aus diesen beiden Ja/Nein-Fragen ergeben sich die vier Grundfälle der Kombinatorik.

Der Schlüssel liegt im Binomialkoeffizienten „n über k“ = n! / (k!·(n−k)!) — er zählt Auswahlen ohne Reihenfolge und taucht überall dort auf, wo aus einer Menge etwas gezogen wird.

Beim Lotto 6 aus 49 wählt man 6 Zahlen aus 49, die Reihenfolge ist egal, Wiederholung ausgeschlossen — also eine Kombination ohne Wiederholung:

Es gibt fast 14 Millionen mögliche Ziehungen. Da nur eine davon dein Tipp ist, liegt die Chance auf sechs Richtige bei rund 1 zu 14 Millionen. Kombinatorik verwandelt ein Bauchgefühl („eher unwahrscheinlich“) in eine harte Zahl — und entlarvt so manche Werbeversprechen.

Wer die Binomialkoeffizienten nicht jedes Mal mit Fakultäten ausrechnen möchte, findet sie im Pascalschen Dreieck. Es beginnt oben mit einer 1; jede Zahl darunter ist die Summe der beiden Zahlen über ihr. Zeile für Zeile entstehen so genau die Werte „n über k“.

Die fünfte Zeile (1, 4, 6, 4, 1) verrät zum Beispiel, auf wie viele Arten man 0, 1, 2, 3 oder 4 Elemente aus einer Vierermenge wählen kann. Das Dreieck steckt außerdem hinter dem Binomischen Lehrsatz und beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Münzwürfen: Wirft man eine Münze viermal, ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Mal Kopf 6/16 — die 6 aus der Mitte der Zeile.

Genau solche Verteilungen sind die Brücke zurück zum Spiel: Ob bei Kartenblättern oder bei der Häufigkeit bestimmter Ergebnisse — die Kombinatorik liefert die exakten Zahlen, aus denen sich jede Wahrscheinlichkeit ergibt.